Alternierende gruppe einfach

Kommutatorgruppe der symmetrischen Gruppe: Die alternierende Gruppe ist die Kommutatorgruppe der symmetrischen Gruppe. Bis auf A 2 {\displaystyle A_{2}} und A 4 {\displaystyle A_{4}} sind alle alternierenden Gruppen einfach. A 5 {\displaystyle A_{5}} ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe; sie ist isomorph zur Drehgruppe des Ikosaeders (siehe Ikosaedergruppe).

Einfache Gruppen und ihre Klassifikation: Die unendliche alternierende Gruppe, das heißt die Gruppe der endlichen geraden Permutationen der natürlichen Zahlen, ist einfach. Diese Gruppe kann als direkter Limes aller unter den Standardeinbettungen + konstruiert werden. Sagt, dass sie eine Serie einfacher Gruppen bilden.

(b) Die kleinste einfache Gruppe, die nicht von dieser Form ist, ist die alternierende Gruppe A 5 mit 60 Elementen (siehe Aufgabe und Satz). In der Tat kann man zeigen, dass alle alternierenden Gruppen A n für n ≥5 einfach sind und damit eine weitere Serie einfacher Gruppen bilden. Signumfunktion und Normalteiler: Alternierende Gruppe. Die Signumfunktion von Permutationen bildet die Permutationen der symmetrischen Gruppe \bm {S_n} Sn in die multiplikative Gruppe (\ {-1,+1\},\cdot) ({−1,+1},⋅) ab.

Nach Satz F ist sie ein Gruppenhomomorphismus. Nach Satz C ist der Kern dieses Homomorphismus ein Normalteiler von \bm {S_n} Sn. Klassifikation endlicher einfacher Gruppen: Interessiert ist, alle endlichen einfachen Gruppen zu finden. Das Resultat liest sich folgendermaßen: Satz 1 (Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen) Eine endliche einfache Gruppe ist entweder • eine zyklische Gruppe, deren Ordnung 1 oder eine Primzahl ist oder • eine alternierende Gruppe A n f¨ur n > 4 oder.

Geometrische Realisierung der alternierenden Gruppe: Die im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppe ist die alternierende Gruppe 5-ten Grades. Sie hat 60 Elemente und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe und die kleinste nicht-auflösbare Gruppe. Sie findet eine geometrische Realisierung als Gruppe der Rotationen des Ikosaeders.

Eigenschaften der alternierenden Gruppe A₅: Die alternierende Gruppe ist die Kommutatorgruppe der symmetrischen Gruppe. Bis auf und sind alle alternierenden Gruppen einfach. ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe; sie ist isomorph zur Drehgruppe des Ikosaeders (Ikosaedergruppe). Bausteine endlicher Gruppen: Endliche einfache Gruppen gelten in der Gruppentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) als die Bausteine der endlichen Gruppen.

Die endlichen einfachen Gruppen spielen für die endlichen Gruppen eine ähnliche Rolle wie die Primzahlen für die natürlichen Zahlen: Jede endliche Gruppe lässt sich in ihre einfachen. Ordnungen einfacher Gruppen: Begründen Sie, dass eine einfache, nichtabelsche Gruppe mit höchstens Elementen eine der Ordnungen 40, 56, 60, 63, 72 oder 84 haben muss.

(b) Man zeige, dass Gruppen der Ordnungen 40, 56, 63, 72 oder 84 nicht einfach sind. (c) Zeigen Sie: Jede einfache Gruppe der Ordnung 60 ist zu \ (A_5\) isomorph.